Vysvětlíme, co je geometrie, její historii a předmět jejího studia. Kromě toho vlastnosti jednotlivých typů geometrie.
co je geometrie?
Geometrie (z řečtiny geo, "Země" a Metr, „Měření“) je jednou z nejstarších odvětví matematika, věnující se studiu tvaru jednotlivých předmětů, prostorových vztahů mezi nimi a vlastnostem prostoru, který je obklopuje.
I když se tato disciplína ve svých počátcích podřizovala, jak už její název napovídá měření ve svém nejpraktičtějším smyslu, v průběhu času lidstvo pochopil, že i ty nejsložitější abstrakce a reprezentace mohou být vyjádřeny geometrickými termíny.
Bylo to tak, že jeho četné větve vznikly z rukou matematické analýzy a dalších forem výpočtů, zejména těch, které spojují geometrickou reprezentaci s numerickými a algebraickými matematickými výrazy.
Geometrie je základním odvětvím matematiky, na kterém je založeno mnoho disciplín (např technický výkres nebo vlastní architektura) a slouží jako doplněk k mnoha dalším (např fyzický, mechanika, astronomie, atd.). Kromě toho dal vzniknout četným artefaktům, od kompasu a pantografu až po systém globálního určování polohy (GPS).
Historie geometrie
Geometrie má svůj původ prakticky v prvních lidských civilizacích. Staří Babyloňané byli vynálezci kola a tím i geometrie kruhů. Z tohoto důvodu byli pravděpodobně první, kdo rozpoznal nekonečný potenciál geometrického studia, který brzy aplikovali v astronomii.
Totéž dělali staří Egypťané, kteří ji pěstovali natolik, aby ji mohli aplikovat ve svých majestátních architektonických dílech, protože v té době byla geometrie a aritmetika vědy nesmírně praktické.
Mnoho řeckých historiků, jako Hérodotos (asi 484-asi 425 př. n. l.), Diodorus (asi 90 př. n. l. - asi 30 př. n. l.) a Strabón (asi 63 př. n. l. - asi 24 n. l.) rozpoznalo důležitost egyptského geometrického dědictví , a byli považováni za tvůrce disciplíny. Byli to však staří Řekové, kteří dali geometrii její formální stránku díky svému pokročilému filozofickému modelu.
Obzvláště důležitý byl matematik a geometrista Euklides (asi 325 – asi 265 př. n. l.), uznávaný jako „otec geometrie“, který prostřednictvím své slavné práce navrhl první geometrický systém pro kontrolu výsledků. Elementy, složený kolem roku 300 n.l. C. v Alexandrii. Tam jsou poprvé uvedeny rozdíly mezi letadly (dvourozměrný) a prostor (trojrozměrný).
Dalšími důležitými příspěvky do geometrie té doby byli Archimédés (asi 287 - asi 212 př. n. l.) a Apollonius z Perge (asi 262 - asi 190 př. n. l.). V následujících staletích se však vývoj matematiky přesunul na východ (konkrétně do Indie a muslimského světa), kde se geometrie rozvinula spolu s algebra a trigonometrie, spojující je s astrologie a astronomie.
Zájem o disciplínu se tak na Západ vrátil až v renesance evropské, v němž do jeho studia přibylo mnoho nových jmen, čímž dala vzniknout projektivní geometrii a především karteziánské geometrii resp. analytická geometrie, plod práce francouzského filozofa René Descartese (1596-1650), nositele nové geometrické výzkumné metody, která způsobila revoluci a modernizaci tohoto oboru poznání.
Od té doby se moderní geometrie uskutečňovala rukou velkých učenců, jako byli Němec Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Rus Nikolái Lobachevski (1792-1856), Maďar János Bolyai (1802-1860), mezi mnoha jiní, kteří se dokázali odklonit od klasických Euklidových axiomů a našli nové pole disciplíny: neeuklidovskou geometrii.
Předmět studia geometrie
Geometrie funguje jak ve dvourozměrném, tak v trojrozměrném.Geometrie se zabývá vlastnostmi prostoru a zejména tvary a postavy které ho obývají, buď dvourozměrné (rovina) nebo trojrozměrné (prostor), jako jsou body, čáry, roviny, mnohoúhelníky, mnohostěny, a tak dále. Tyto typy objektů jsou chápány jako idealizace, tedy mentální projekce prostoru, aby se jejich závěry přenesly (nebo ne) do světa konkrétního.
Typy geometrie
Geometrie má mnoho různých odvětví a její klasifikace obecně odpovídá vztahu, který zakládá s pěti základními postuláty Euklida, z nichž pouze čtyři byly široce demonstrovány od starověku. Pátý, na druhé straně, musel být upraven, aby dal vzniknout různým rodinám geometrií.
Musíme tedy rozlišovat mezi:
Absolutní geometrie, taková, která se řídí prvními čtyřmi Euklidovými postuláty.
Euklidovská geometrie, která také přijímá pátý euklidovský postulát jako axiom, zase dává vzniknout dvěma variantám: geometrii roviny (dvourozměrné) a geometrii prostoru (trojrozměrné), podle starověké řecké klasifikace. .
Klasická geometrie, ve které jsou sestavovány výsledky euklidovských geometrií.
Neeuklidovská geometrie, která se objevila v 19. století, je geometrií, která spojuje různé geometrické systémy, které jsou daleko od pátého Euklidova postulátu, avšak přijímá první čtyři nebo některé z nich. Mezi ně patří:
- Eliptická nebo Riemannovská geometrie, která se řídí prvními čtyřmi Euklidovými postuláty a představuje model konstantního a pozitivního zakřivení.
- Hyperbolická nebo lobachevská geometrie, která se řídí pouze prvními čtyřmi Euklidovými postuláty a představuje model konstantního a negativního zakřivení.
- Sférická geometrie, chápaná jako geometrie dvourozměrného povrchu koule (spíše než přímé roviny), je jednodušší model eliptické geometrie.
- Konečná geometrie, jejíž systém se řídí omezeným počtem bodů (na rozdíl od nekonečné geometrie Euklida) a jejíž modely platí pouze v konečné rovině. Existují dva typy konečných geometrií: afinní a projektivní.